طفیل ہوشیار پوری(۱۹۱۴ء۔۱۹۹۳ء) کا اصل نام محمد طفیل اور شہرت طفیل ہوشیار پوری کے نام سے ہوئی۔ طفیل ضلع ہوشیارپورکی تحصیل گڑھ شنکر کے ایک گاؤں بینے والی میں پیدا ہوئے۔ ۱۹۳۴ء میں ہوشیار پور سے ہجرت کر کے سیالکوٹ میں مستقل سکونت اختیار کر لی ۔یہاں انھوں نے اپنے بڑے بھائی کے ساتھ مل کر منیمی(حساب کتاب) سکول قائم کیا۔ اس سکول میں سیالکوٹ کے ممتاز تاجر ان کے شاگرد رہے ہیں۔(۶۰۷)
۱۹۴۳ء میں طفیل آل انڈیا ریڈیو سے منسلک ہو گئے۔ ۱۹۵۴ء میں ان کا ناطہ فلمی دنیا سے جڑ گیا ۔ اور آپ فلموں کے لیے گیت لکھنے لگے۔یہ گیت اردو اور پنجابی زبان میں ہیں۔۱۹۵۴ء میں ہی انھوں نے لاہور سے ایک ادبی اور علمی رسالے کا اجرا کیا جس کا نام ’’محفل‘‘ تھا۔ آپ ہفت روزہ رسالہ ’’صاف گو‘‘ کے مدیر اعلیٰ بھی رہے ہیں۔(۶۰۸)
حُب وطن پر مشتمل نظموں اور جنگی ترانوں پر مشتمل ’’میرے محبوب وطن‘‘ طفیل کا پہلا شعری مجموعہ کلام ہے۔ جوجنوری ۱۹۶۶ء میں شائع ہوا۔مولانا ابو الا علیٰ مودودی نے حرفِ اول لکھا۔ جسٹس ایس۔اے رحمان نے ’’پیشِ لفظ‘‘ سید عابد علی عابد نے ’’دیباچہ‘‘ اور سید نذیرنیازی نے ’’مقدمہ ‘‘ اور طفیل نے’’میں خود کہوں تو‘‘ کے عنوان سے اپنی قومی نظموں کا پس منظر بیان کیا ہے۔ جامِ مہتاب طفیل کا دوسرا شعری مجموعہ ہے۔ جو رباعیات و قطعات پر مشتمل ہے ۔یہ مجموعہ ۱۹۷۵ء میں شائع ہوا۔ حرفِ آغاز جسٹس ایس ۔اے رحمان نے لکھا۔’’تعارف و تقریظ‘‘ مولانا حامد علی خان نے لکھا۔ عرضِ حال کے عنوان سے طفیل نے اس کتاب میں اپنی شاعری پر روشنی ڈالی ہے۔ ڈاکٹر سید عبداﷲ نے ’’شعلہ جام پر ایک نظر‘‘ کے عنوان سے مضمون قلم بند کیا ہے۔ ڈاکٹر عبادت بریلوی نے مقدمہ لکھا ہے۔ جب کہ شاعر لکھنوی نے ’’شعلہ جام سے طفیل ہوشیار...
The Jāmiʿ al-bayān ʿan taʾwīl āy al-Qurʾān (جامع البیان عن تاویل ای القران) the book of Quranic interpretation is known as Tafsīr al-Ṭabarī. The author Imām Ṭabarī was blessed for being skilled enough in presenting the message of Islam with different methods. The methodology he has chosen to explain the precious hidden beads of Holy Quran is associated with the methodology of tafsir bi-al-ma’thur (تفسیر بالماثور). His presented explanations are completely independent from the reflection of his personal opinions. The statements of the early stages of Islam, the direct transmissions by the Holy prophet Muhammad (ﷺ) and his companions were chiefly used to understand the meaning of Holy Quran. The jurisprudence, linguistic, and the philosophic approaches are also referred in his tafsir.
It is well known that the theory of inequalities is considered as one of the central areas of mathematical analysis. It has many important applications in numerous scientific fields. In recent years, considerable attention has been given to this field in order to find the generalizations, variations and applications of different inequalities. The aim of this thesis is to prove several inequalities involving some special functions in terms of a new parameter k > 0. We can call these functions as special k-functions. Here, we do work on k-analogue gamma, beta and psi functions. This research work consists of eight chapters. In first chapter, we prove the inequalities involving k and q, k-analogue of gamma and psi functions. In chapter 2, We derive some classical inequalities of Chebyshev, H¨older and Gr¨uss type involving gamma and beta k-functions. In chapter 3, we discuss some basic properties, recurrence relation and special cases of incomplete gamma and beta functions in terms of the parameter k > 0. Some inequalities involving the incomplete beta k-functions are also given. In chapter 4, we prove some Gr¨uss type integral inequalities involving the generalized RiemannLiouville fractional integral in terms of parameter k > 0. In Chapter 5, the Ostrowski type inequalities involving the left and right-sided Riemann-Liouville fractional integrals are established in terms of the parameter k > 0. From our results, the classical Ostrowski inequalities can be deduced as some special cases. In chapter 6, we introduce the k-analogue of Hadamard fractional integral with some properties. We prove different types of inequalities involving this newly defined k-fractional integral. In chapter 7, we define the k-deformation of the fractional integral of a function with respect to another function and the inequalities involving the newly defined k-fractional integrals are also be proved. In last chapter, we introduce some properties of beta k-distribution and present some inequalities involving beta k-distribution via some classical inequalities, like Chebyshev’s inequality for synchronous (asynchronous) mappings and H¨older’s inequality. Also, we discuss the inequalities for harmonic mean, variance and coefficient of variation of βk random variable involving the parameter k > 0. Finally, we give conclusion of the present study and recommendations for the future work. Additionally, published work of the author has also been attached at the end of the thesis.